自考《线性代数（经管类）》真题练习：正定二次型（4.09）

单选题

1.设f=X′AX，g=X′BX是两个n元正定二次型，则（ ）未必是正定二次型。

A.X′（A+B）X

B.X′A^-1X

C.X′B^-1X

D.X′ABX

正确答案：D

答案解析： 因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，|A|0，设APj=λjPj，则A^-1Pj=Pj，A^-1的n个特征值，j=1，2，…，n，必都大于零，这说明A^-1为正定阵，X′A^-1X为正定二定型，同理，X′B^-1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有X′（A+B）X=X′AX+X′BX0. 这说明X′（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以X′ABX未必为正定二次型。