自考《线性代数（经管类）》真题练习：正定的概念

单选题

下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是（ ）。

A.A^-1正定

B.A没有负的特征值

C.A的正惯性指数等于n

D.A合同于单位阵

正确答案：B

答案解析：本题考查正定的概念。

A^-1正定表明存在可逆矩阵C使C′A^-1C=I_n，两边求逆得到

C^-1A（C′）^-1= C^-1A（C^-1）′=I_n

即A合同于In，A正定，因此不应选A。

C是A正定的定义。

D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。

事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。