《高等数学》(一)第一章 同步辅导/训练

第一章函数及其图形复习提示

本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常见的经济函数；能从比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

本章重点：函数概念和基本初等函数。

难点：函数的复合。

典型例题分析与详解

一、单项选择题

1 下列集合中为空集的「」

A ｛｝B ｛0 ｝

C 0D｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝

「答案」选D 

「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集

2 设A=｛x ｜x2-x-60 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝，

则A ∩B=「」

A ｛x ｜x 3 ｝B ｛x ｜x <-2｝

C ｛x ｜-2<x ≤1 ｝D ｛x ｜x ≤1 ｝

「答案」选B

「解析」由x2-x-60 得x 3 或 x<-2，故A=｛x ｜x 3 或x <-2｝；由x-1 ≤1 得x ≤2 ，故B=｛x ｜x ≤2 ｝，所以A ∩B=｛x ｜x <-2｝。

3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」

A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9}

C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8}

「答案」选A 

「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8}

4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」

A M ∪N={0，1}

B M ∩N={0，1}

C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6}

D M ∩N ∩R=（空集）

「答案」选D 

「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R=.

5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」

A 充分但不是必要条件

B 必要但不是充分条件

C 充分必要条件

D 既不是充分条件又不是必要条件

「答案」选B 

「解析」若A=B ，则任取x ∈A 有x ∈B ，于是x ∈A ∩B ，从而A A ∩B 又A ∩B A ，故A ∩B=A 

反之不成立例A={1，2}，B={1，2 ，3}，显然A ∩B=A ，但A ≠B 

6 设有集合E={x|-1 <x ≤10} ，F={-1 ，0 ，1 ，10} ，则E ∩F=「」

A B {-1 ，0 ，1}

C {0，1 ，10}D{-1 ，0 ，1 ，10}

「答案」选C 

「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合，故E ∩F={0，1 ，10} 

7 函数f （x ）=1 lg|x-5|的定义域是「」

A （- ∞，5 ）∪（5 ，+ ∞）

B （- ∞，6 ）∪（6 ，+ ∞）

C （- ∞，4 ）∪（4 ，+ ∞）

D （- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

「答案」选D 

「解析」由对数的真数大于0 ，分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| 0

|x-5| ≠1 ，得x 5 或x <5

x ≠4 或x ≠6

于是得到该函数的定义域为（- ∞，4 ）∪（4 ，5 ）∪（5 ，6 ）∪（6 ，+ ∞）

8 设f （x ）在区间［0 ，1 ］上有定义，则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」

A ［0 ，1 ］B -1 4，5 4

C -1 4，1 4D1 4 ，3 4

「答案」选D 

「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1

0 ≤x-1 4 ≤1 ，得-1 4≤x ≤3 4

1 4 ≤x ≤5 4

，其公共部分即为该函数的定义域，于是得该函数的定义域为1 4 ，3 4 

9 设f （x ）的定义域是［0 ，4 ］，则f （x2）的定义域是「」

A ［0 ，16］B ［0 ，2 ］

C ［-2，2 ］D ［-16 ，16］

「答案」选C 

「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ，|x| ≤2 ，-2≤x ≤2 于是f （x2）的定义域为［-2，2］

10函数f （x ）=lnx x-2的定义域是「」

A （- ∞，0 ）B （2 ，+ ∞）

C （0 ，2 ）D （- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）

「答案」选D 

「解析」由条件知x x-2 0 且x ≠2 ，得x 2 或x <0 故f （x ）=lnx x-2的定义域为（- ∞，0 ）∪（2 ，+ ∞）

11函数f （x ）=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」

A ［1 ，5 ］B ［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

C ［1 ，3 ）D （3 ，5 ］

「答案」选B 

「解析」由-1≤x-3 2 ≤1

x2-x-6≠0 ，得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ，x ≠-2，因此所给函数的定义域为［1 ，3 ）∪（3 ，5 ］

12已知f （1 x ）=x+x2+1 ，（x 0 ），则f （x ）= 「」

A x+x2+1 xB 1+x2+1 x

C x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1

「答案」选B 

「解析」令1 x=t ，则f （t ）=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t，故f （x ）=1+x2+1 x

「另解」因为f （1 x ）=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1，

故f （x ）=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2

=1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x

13设函数f （x ）=1， |x|≤1

-1， |x|1 ，则f1 f（x ）= 「」

A 1B-1

C f （x ）D 1 f （x ）

「答案」选A 

「解析」因|f（x ）|=1 ，1 f （x ）=1，故f1 f（x ）=1

14设f （x ）=|x| x，g （x ）=x2 ，则f ［g （x ）］= 「」

A ±1B1

C 1 xD|x| x2

「答案」选B 

「解析」f ［g （x ）］=f（x2）=|x2| x2=x2 x2=1

15设f （x ）= 2｜x ｜≤2

1｜x ｜2，则f （f （x ））= 「」

A 2B1Cf （x ）D （f （x ））2

「答案」选A 

「解析」由假设f （f （x ））= 2｜f （x ）｜≤2

1 ｜f （x ）｜2，

对任意x ∈（－∞，＋∞），｜f （x ）｜≤2 ，故有f （f （x ））=2.

16设f （1-2x）=1- 2 x，则f （x ）= 「」

A 1+4 1-xB 1-4 1-x

C 1-2 1-2xD1+2 1-2x

「答案」选B 

「解析」令1-2x=t，x=1-t 2，由f （1-2x）=1- 2 x得

f （t ）=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ，故f （x ）=1- 4 1-x

17设f （sinx2）=1+cosx ，则f （cosx2）= 「」

A 1-cosxB -cosx

C 1+cosxD 1-sinx

「答案」选A 

「解析」f （sinx2）=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2，所以

f （x ）=2-2x2.

从而f （cosx2）=2-2cos 2x 2＝2-（1+cosx）=1-cosx.

18设f （x+2 ）=x2-2x+3，则f ［f （2 ）］= 「」

A 3 B 0

C 1 D 2

「答案」选D 

「解析」因f （2 ）=f（0+2 ）=02-2 ×0+3=3 ，

故f ［f （2 ）］=f（3 ）=f（1+2 ）=12-2 ×1+3=2 

「另解」因为f （x+2 ）=x2-2x+3= ［（x+2 ）-2］2-2 ［（x+2 ）-2］+3，

故f （x ）= （x-2 ）2-2 （x-2 ）+3=x2-6x+11 ，f （2 ）=3

从而f ［f （2 ）］=f（3 ）=32-6 ×3+11=2

19设g （x ）=lnx+1，f ［g （x ）］=x，则f （1 ）= 「」

A 1 B e

C -1 D-e

「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ，得lnx=0 ，x=1 ，故f （1 ）= f ［g （1 ）］=1

20下列各组函数中，表示相同函数的是「」

A y=lnx2与y=2lnx

B y=x 与y=x2

C y=1 与y=sin2x+cos2x

D y=x 与y=cos （arccosx ）

「答案」选C 

「解析」A 中两函数的定义域不同，B 中两函数的对应规则不同，D 中两函数的定义域与对应规则都不同只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同

21函数y=log4x+log42 的反函数是「」

A y=42x-1By=4x-1

C y=2x-1D y=4x-1

「答案」选A 

「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y，

故x=42y-1 ，即所求函数的反函数是y=42x-1.

22设－12<x <0 ，则y=lg（1＋x ）＋lg（1－x ）的反函数是「」

A y=1－10x ，（－∞，0）

B y=- 1－10x ，（－∞，0）

C y=1－10x ，（lg34，0）

D y=- 1－10x ，（lg34，0）

「答案」选D 

「解析」由y=lg（1+x ）+lg （1-x ）=lg （1-x 2）得

1-x2=10y

因为当x ∈（- 12，0）时，y ∈（lg34，0），所以

x=- 1－10y

故所求反函数为y=- 1－10x ，（lg34，0）

23设f （x ）=x-1 x+1，则f-1 （12）= 「」

A 12B 1C 2D 3「答案」选D 

「解析」设f-1 （12）=l，则f （l ）= 12即

l-1 l+1=12，解得l=3

24设f （x ）=lnx，且函数φ（x ）的反函数φ-1（x ）=2（x+1 ） x-1，则f ［φ（x ）

］= 「」

A lnx-2 x+2Blnx+2 x-2

C ln2-x x+2Dlnx+2 2-x

「答案」选B 

「解析」令y=φ-1（x ），则y=2 （x+1 ） x-1，得x=y+2 y-2 ，即φ（x ）=x+2 x-2，故f［φ（x ）］=lnx+2 x-2

25下列函数中，其反函数在（- ∞，+ ∞）上有定义的是「」

A y=x3B y=1 x

C y=exD y=sinx

「答案」选A 

「解析」B 、C 、D 中的函数的反函数依次为y=1 x ，y=lnx ，y=arcsinx ，它们的定义域依次为（- ∞，0 ）∪（0 ，+ ∞）、（0 ，+ ∞）、［-1，1 ］，只有A 的反函数为y=3 x ，其定义域为（- ∞，+ ∞）

26y=3x 2+3x 的反函数是「」

A y=3-x 3-x+2By=2+3x 3x

C y=log32x 1-xD y=log31-x 2x

「答案」选C 

「解析」由y=3x 2+3x ，得2y+y.3x=3x，2y=3x （1-y ），3x=2y 1-y ，x=log32y 1-y，

故所求反函数为y=log32x 1-x

27将函数f （x ）=2-|x-2|表示为分段函数时，f （x ）= 「」

A 4-x ， x≥0

x ， x<0B4-x ， x≥2

x ， x<2

C 4-x ， x≥0

1-x x <0D4-x ， x≥2

4+x x <2

「答案」选B 

「解析」由条件f （x ）=2- （x-2 ），x ≥2

2-（2-x ），x <2 ，即

f （x ）=4-x，x ≥2

x ，x <2 

28下列函数中，表达式为基本初等函数的是「」

A y=2x2 ， x0

2x+1， x<0By=2x+cosx

C y=xDy=sinx

「答案」选C 「解析」对照基本初等函数的定义可知y=x 是基本初等函数，而A 中函数为分段函数，B 中函数为初等函数，D 中函数为复合函数它们都不是基本初等函数

29函数y=sinx-sin|x| 的值域是「」

A （0 ）B ［-1，1 ］

C ［0 ，1 ］D ［-2，2 ］

「答案」选D 

「解析」因为当x ≥0 时，y=sinx-sinx=0 ，

当x <0 时，y=sinx-sin（-x）=sinx+sinx=2sinx，这时-2≤2sinx ≤2 ，故函数y=sinx-sin|x|的值域为［-2，2 ］30函数y=x2 -2 ≤x ≤0

x2-4 0<x ≤2 的反函数是「」

A y=x 0 ≤x ≤4

x+4 0 <x ≤2

B y=－x 0 ≤x ≤4

x+4 -4<x <0

C y=－x 〖〗0 ≤x ≤4

－x+4 -4≤x <0

D y=x 0 ≤x ≤4

- 4+x -4 ≤x <0

「答案」选B 

「解析」因为当-2≤x ≤0 时，y=x2， x=-y ，0≤y ≤4 ；

当0 <x <2 时，y=x2-4， x=y+4，－4<y <0 

故所求反函数为y=－x ， 0≤x ≤4 ，

x+4 ， -4 <x <0.

31设f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义，下列函数中为偶函数的是「」

A y=|f（x ）|By=-|f （x ）|

C y=-f（-x）D y=f （x2）

「答案」选D 

「解析」由偶函数定义，D 中函数定义域（- ∞，+ ∞）关于原点对称，且y （-x）=f［（-x）

2 ］=f（x2）=y（x ），故y=f （x2）是偶函数

32函数f （x ）=loga （x+1+x2）（a 0 ，a ≠1 ）是「」

A 奇函数B 偶函数

C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数

「答案」选A 

「解析」因该函数定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，且

f （-x）=loga-x+1+（-x）2=loga1+x2-x

=log31+x2-x2 1+x2+x=log31 x+1+x2

=-log3x+1+x2=-f （x ）

故f （x ）=logax+1+x2 为奇函数

33设函数f （x ）=x（ex-1） ex+1 ，则该函数是「」

A 奇函数B 偶函数

C 非奇非偶函数D 单调函数

「答案」选B 

「解析」因为f （x ）的定义域是（- ∞，＋∞），且

f （-x）=-x （e-x-1 ） e-x+1=-x1-ex ex 1+ex ex=x（ex-1） ex+1=f （x ）。

所以f （x ）为偶函数。

34设函数f （x ）在（- ∞，+ ∞）内有定义且为奇函数，若当x ∈（－∞，0）时，f（x ）=x（x-1 ），则当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）= 「」

A -x（x+1 ）B x （x-1 ）

C x （-x+1）D x （x+1 ）

「答案」选A 

「解析」因为f （x ）为奇函数，故当x 0 时，

f （x ）=-f （-x）=-［-x（-x-1）］=-x （x+1 ）。

35设函数f （x ）、g （x ）在（－∞，＋∞）上有定义，若f （x ）为奇函数，g （x ）

为偶函数，则g ［f （x ）］为「」

A 奇函数B 偶函数

C 非奇非偶函数D 有界函数

「答案」选B 

「解析」因为g ［f （-x）］=g［-f（x ）］=g［f （x ）］，故g ［f （x ）］为偶函数。

36函数f （x ）=x（1+cos2x ）的图形对称于「」

A ox轴B 直线y=x

C 坐标原点D oy轴

「答案」选C 

「解析」因f （x ）的定义域为（- ∞，+ ∞），它关于原点对称，又f （-x）=-x （1+cos2（-x））=-x （1+cos2x ）=-f （x ），故f （x ）=x（1+cos2x ）是奇函数，而奇函数的图形关于原点对称

37函数y=|sinx|的周期是「」

A πB π2 C2πD 4π

「答案」选A 

「解析」因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|，故y=|sinx|的周期（最小正周期）为π

38下列函数中为周期函数的是「」

A y=sinx2By=arcsin2x

C y=x ｜sinx｜D y=tan （3x-2）

「答案」选D 

「解析」因为tan ［3 （x+π3）－2］=tan（3x+ π-2）=tan［（3x-2）+ π］

=tan（3x-2），所以y=tan （3x-2）是以π3为周期的周期函数。

39设f （x ）是以3 为周期的奇函数，且f （-1）=-1 ，则f （7 ）= 「」

A 1B-1C 2D-2

「答案」选A 

「解析」因为f （7 ）=f（1+2.3 ）=f（1 ）=-f （-1）=1.

40已知偶函数f （x ）在［0，4］上是单调增函数，那么f （- π）和f （log 128）

的大小关系是「」

A f （- π）<f （log 128） Bf （- π）=f（log 1〖〗28）

C f （- π）f （log 128）D 不能确定

「答案」选C 

「解析」因为f （x ）为偶函数且在［0，4］上是单调增函数，故f （x ）在［－4，0］上是单调减函数又log 128=log12（12）－3=-3 －π，所以f （- π）f （log 128）。

41在R 上，下列函数中为有界函数的是y=「」

A exB 1+sinx

C lnxDtanx

「答案」选B 

「解析」由函数的图像可以看出y=ex，y=lnx 、y=tanx在其定义区间内是无界的，只有B 中函数y=1+sinx其定义域为R ，且对任意x ∈R ，有|1+sinx|≤1+|sinx|≤2 成立，故y=1+sinx在R 上是有界函数

基础训练题

单项选择题

1 设A={x|-3 ≤x ≤3}，B={x|0≤x ≤5}，则

A A BBA B

C （A ∩B ）BD（A ∩B ）B 「」

2 下列集合为空集的是

A {x|x+5=5}B{x|x∈R 且x2+10=0}

C {x|x≥3 且x ≤3}D {x||x+5|≤0}「」

3 若集合M={0，1 ，2}，则下列写法中正确的是

A {1} ∈MB1 M

C 1 MD{1} M 「」

4 函数y=1-x+arccosx+1 2 的定义域是

A -3≤x ≤1

B x <1

C （-3，1 ）

D {x|x<1}∩{x|-3 ≤x ≤1}「」

5 函数f （x ）= （x+1 ）2x+1 2x2-x-1的定义域是

A x ≠-1 2B x -1 2

C x ≠-1 2且x ≠1Dx -1 2且x ≠1 「」

6 若0 ≤a ≤1 2 及函数y=f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+a ）+f（x-a ）的定义域是

A ［-a，1-a ］B ［-a，1+a ］

C ［a ，1-a ］D ［a ，1+a ］「」

7 设函数f （x+a ）的定义域为［0 ，a ］，则f （x ）的定义域为

A ［a ，2a］B ［-a，0 ］

C ［-2a ，-a］D ［0 ，a ］「」

8 函数f （x ）=x｜x ｜≤1

sinx 1<｜x ｜≤4 ，则f （x2）的定义域为

A ［－4，4］B ［－1，1］

C ［1，4］D ［－2，2］「」

9 设g （x ）=sinx ，则g-sin π 2=

A -1B 1

C sin1D -sin1 「」

10设f （x ）是定义在实数域上的一个函数，且f （x-1 ）=x2+x+1 ，则f1 x-1=

A 1 （x-1 ）2+3 x-1+3B1 （x-1 ）2+1 x-1+1

C 1 x2+x+1D 1 x2+1 x+1「」

11设f1 x=x x-1，则f （2x）=

A 2 1-xB1 1-2x

C 2 （x-1 ） 2xD2 （x-1 ） x「」

12设f （x-2 ）=x2+1 ，则f （x+1 ）=

A x2+2x+2Bx2-2x+2

C x2+6x+10D x2-6x+10「」

13函数y=4-x2的值域是

A ［0 ，1 ］B （0 ，1 ］

C （0 ，+ ∞）D （- ∞，+ ∞）「」

14下列函数中与y=x 为同一函数的是y=

A x2B lnex

C elnxD （x ）2 「」

15函数y=sin1 x是其定义域内的

A 周期函数B 单调函数

C 有界函数D 无界函数「」

16下列函数中在（0 ，+ ∞）内为单调减少的是

A y=logxa ，0 <a <1By=sinx

C y=arctanxDy=lnx 「」

17下列函数中为奇函数的是

A y=ex-1 ex+1By=x2+sinx

C y=cos3xDy=ln（x2+x4 ）「」

18函数y=1-x 1+x 的反函数是

A y=x-1 x+1By=1+x 1-x

C y=1-x 1+xDy=-x 1+x「」

提高训练题

单项选择题

1 如果集合A B ，则下列正确的是

A A ∪B=ABA ∩B=B

C A ∪B=BDA ∩B=「」

2 设集合E={x|-5 ≤x <1}，F={x|0<x ≤5}，则E ∩F=

A {x|0<x <1}B {x|1≤x ≤5}

C {x|-5 ≤x ≤5}D {x|-5 ≤x <0}「」

3 设f （x ）的定义域是［0 ，1 ］，则f （x+1 ）的定义域是

A ［0 ，1 ］B ［-1，0 ］

C ［1 ，2 ］D ［0 ，2 ］「」

4 将函数f （x ）=1+ ｜x-1 ｜表示为分段函数时，f （x ）=

A 2-x x ≥0

x x <0Bx x ≥0

2-x x <0

C x x ≥1

2-x x <1D2-x x ≥1

x x <1 「」

5 设f （x ）=1-x x，g （x ）=1-x，则f ［g （x ）］=

A x 1-xB1 x

C 2x-1 1-xD 2+x 「」

6 设f （cosx）=3-cos2x，则f （sinx）=

A 3-sinxB 2+2sin2x

C 4-2sin2xD 4-2sinx 「」

7 如果g （x ）=x+2且f （g （x ））=x-3 x+1（x ≠-1），则f （5 2）=

A - 3 5 B3 5 C5 3 D－5 3「」

8 设函数f （x ）在（- ∞，＋∞）内有定义，则下列函数是偶函数的是

A xf（x ）B - ｜f （x ）｜

C x ［f （x ）-f（-x）］D x ［f （x ）+f（-x）］「」

9 函数f （x ）= π+arctanx是

A 有界函数B 无界函数

C 单调减少函数D 周期函数「」

10函数f （x ）=3cos πx 的最小正周期为

A 6B6 πC 2D 2π「」

11下列说法正确的是

A 函数y=f （x ）与y=-f（x ）关于原点对称

B 函数y=f （x ）与y=｜f （x ）｜关于x 轴对称

C 函数y ＝｜f （x ）｜与y=- ｜f （x ）｜关于y 轴对称

D 函数y=3x与y=3-x 关于y 轴对称「」

12函数y=ex ex+1 的反函数是

A y=lnx 1-xBy=x 1-x

C y=ln1-x xDy=1-x x 「」

13函数f （x ）=2x ｜x ｜≤1

1+x 1 <｜x ｜≤2 为

A 基本初等函数B 分段函数

C 初等函数D 复合函数「」

14已知函数f （x ）是线性函数，且f （-1）=2，f （1 ）=-2 ，则f （x ）=

A x+3 B x-3C-2x D 2x「」

15设f （x ）=lnx，函数g （x ）的反函数g-1 （x ）=2（x+1 ） x-1，则f （g （x ））

=

A lnx+2 x-2Blnx-1 x+1

C lnx+1 x-1Dlnx+2 〖〗x-2 「」

基础训练题参考答案

单项选择题

1 C2B3D4A5D

6 C7A8D9D10 A

11B12 C13 B14 B15 C

16A17 A18 C

提高训练题参考答案

单项选择题

1 C2A3B4C5A

6 C7D8C9A10 C

11D12 A13 B14 C

15D （提示：由y=2 （x+1 ） x-1得x=y+2 y-2 ，知g （x ）=x+2 x-2，所以f ［g （x ）］=ln （x+2 x-2 ）。